Senin, 16 November 2015
Soal dan Pembahasan Metode Grafik
23.45 | 
Diposting oleh
Unknown
SOAL MODEL GRAFIK
1.
Bu
Ilyas akan mengadakan acara syukuran dan berencana membuat dua macam kue. Kue pertama akan membutuhkan 30 ons
tepung
terigu
dan 10 ons
tepung
beras, sedangkan
kue
kedua
akan
membutuhkan 10 ons
tepung
terigu
dan 20 ons
tepung
beras. Jumlah
tepung terigu yang tersedia adalah 60 ons dan jumlah tepung beras yang tersedia
adalah 40 ons. Jika
tiap
resep
kue
pertama
dapat
memenuhi
kuota
untuk 40 orang dan
tiap
resep
kue
kedua
dapat
memenuhi
kuota
untuk 10 orang, maka
jumlah
maksimum orang yang dapat
diundang
oleh Bu Ilyasa
dalah
2.
Seorang anak diharuskan mengkonsumsi dua
jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit
vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit
vitamin B. Dalam satu hari anak tersebutmemerlukan
20 unit vitamin A dan 5
unit
vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp. 400/butir dan tablet kedua Rp.
800/butir, maka pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah
3.
“PT. Rakyat Bersatu” menghasilkan 2 macam produk. Baik
produk I maupun produk II setiap unit laku Rp. 3000,-. Kedua produk tersebut
dalam proses pembuatannya perlu 3 mesin. Produk I perlu 2 jam mesin A, 2 jam
mesin B, dan 4 jam mesin C. Produk II perlu 1 jam mesin A, 3 jam mesin B, dan 3
jam mesin C. Tersedia 3 mesin A yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per
hari, tersedia 6 mesin B yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari, dan
tersedia 9 mesin C yang mampu beroperasi 8 jam per mesin per hari. Berikan
saran kepada pimpinan “PT. Rakyat Bersatu” sehingga dapat diperoleh hasil
penjualan yang maksimum ! Dan berapa unit produk I dan produk II harus
diproduksi ?
Tabel 1
4.
Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat
dua jenis makanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut
mengandung vitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan
Royal Jelly paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah
vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan:
*Tabel 2
Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan
agar meminimumkan biaya produksi.
5. Perusahaan Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi.
Keuntungan yang diperoleh dari satu unit meja adalah $7,- sedang keuntungan
yang diperoleh dari satu unit kursi adalah $5,-.
Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk
pembuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan 1 unit
meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan untuk pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam
kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240
jam per minggu sedang jumlah jam kerja untuk pengecatan adalah 100 jam per
minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan
perusahaan maksimum?
6.
Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk
persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp 1.500.000,00 per
buah dan sepeda balap dengan harga Rp 2.000.000,00 per buah. Ia berencana tidak
akan mengeluarkan uang lebih dari Rp 42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah
sepeda gunung Rp 500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp 600.000,00, maka
keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah …
7.
Seorang
petani mempunyai 16 Ha tanah yang dapat ditanami padi atau jagung. Sarana
produksi adalah tanah, modal dan air yang ketiganya terbatas. data mengenai
sarana perkwintal padi dan jagung beserta persediaan masing-masing tertera
sebagai berikut :
|
Sarana
|
Padi
|
Jagung
|
Persediaan
|
|
Tanah
Modal
Air
|
1/5
$3000
12
|
2/5
$2000
0
|
16 Ha
$120.000
360 jam
|
|
Untung
|
$2000
|
$1000
|
|
Berapakah keuntungan maksimum yang
diperoleh?
8.
Sebuah
perusahaan menghasilkan 2 jenis barang 1 dan 2. kedua barang tersebut
dikerjakan dengan menggunakan mesin A dan mesin B. Untuk membuat barang 1
diperlukan waktu 3 jam di Mesin A dan 4 jam di Mesin B. Untuk barang 2
diperlukan waktu 6 jam di Mesin A dan 3
jam di Mmesin B. Kedua mesin masing-masing bekerja tidak lebih 24 jam
seharinya. Jika barang 1 dijual dengan harga $2000 dan barang 2 dijual dengan
harga $3000 perbuah. Tentukan banyak Barang 1 dan Barang 2 agar penjualan
maksimum?
9.
Suatu
perusahaan radio membuat 2 jenis radio A dan B. Dalam pembuatan diperlukan 3
proses yaitu proses I, II, III. Setiap radio jenis
radio A dan B membutuhkan proses dengan perincian sebagai berikut :
|
Jenis
|
Proses
I
|
Proses
II
|
Proses
III
|
|
A
|
1
|
0,8
|
0,5
|
|
B
|
1,2
|
2
|
0
|
Perusahaan tersebut mempunyai tenaga kerja sbb :
I.
1200
jam kerja
II.
1600
jam kerja
III.
500
jam kerja
Jika
setiap radio dijual $10.000 jenis A dan $20.000 untuk jenis B. Sedangkan biaya
produksi akan tertutup jika dibuat 200 radio A dan 160 radio B. Tentukan
banyaknya radio A dan B harus dibuat agar memperoleh keuntungan maksimum.
10. Suatu perusahaan menghasilkan dua
barang, boneka dan mobil-mobilan. Harga masing-masing barang dan kebutuhan
sumber daya terlihat pada tabel berikut ini dan disamping itu, menurut bagian
penjualan, permintaan boneka tidak akan melebihi 4 unit.
Pada
kasus ini, maslaah yang dihadapi perusahaan adalah menentukan jumlah
masing-masing produk yang harus dihasilkan agar keuntungan maksimum.
PEMBAHASAN
SOAL METODE GRAFIK
1.
Jawab:
=
Kuejenispertama
= Kue jenis
kedua|
JenisTepung
|
Kue I
|
Kue II
|
Tersedia
|
|
Terigu
|
30
|
10
|
60
|
|
Beras
|
10
|
20
|
40
|
|
Jumlahundangan
|
40
|
10
|
|
Fungsitujuan : 
Fungsikendala : 
Penentuantitikpotongfungsikendalapadasumbu dan
dan
 |
|
 |
||||
|
|
0
|
2
|
|
|
0
|
4
|
|
|
6
|
0
|
|
|
2
|
0
|
|
Titik
|
(0, 6)
|
(2,0)
|
|
Titik
|
(0,2)
|
(4,0)
|
Daerah penyelesaian di bawahgaris
|
|
Daerah penyelesaian di bawahgaris
|
||||
Untukmencarititikpotongkeduafungsikitagunakaneliminasi
 |
|
 |
|
 |
|
|
|
|
 |
|
 |
 |
|
|
|
|
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
Sehinggadiperolehtitikpotongantarakeduafungsikendalapadatitik
, dan grafiknya adalah:
, dan grafiknya adalah:
Selanjutnyakitatentukannilaimaksimumnya,
dengancaraberikut:
a.
Ujititikpojok
|
FungsiTujuan :
|
|
|
TitikPojok
|
Nilai
 |
|
A
 |
 |
|
B
 |
 |
|
C
 |
 |
|
O
 |
 |
Dari hasilujititikpojok di atas, kitadapatkanbahwajumlahundanganmaksimumadalah
80 orang, denganmembuat 2 resepkuepertama.
b.
Garisselidik
Titik-titikuntukgarisselidik:
|
FungsiTujuan :
|
|||
|
Nilai
|
|
|
TitikKoordinat
|
|
120
|
3
|
12
|
(10, 0) dan (0, 40)
|
|
80
|
 |
 |
(2, 0) dan (0, 8)
|
 |
 |
 |
(1, 0) dan (0, 4)
|
Adapun
grafiknya
adalah
sebagai
berikut:
Dari
tabel di atas, didapat titik maksimumnya adalah titik (2, 0), dan
nilai
maksimum nya
. Sehingga jumlah maksimum undangan adalah 80 orang
dengan membuat 2 resep kue pertama.
. Sehingga jumlah maksimum undangan adalah 80 orang
dengan membuat 2 resep kue pertama.
2.
Jawab:
= Tablet jenis
pertama = Tablet jenis
kedua|
Kandungan
|
Tablet Pertama
|
Tablet Kedua
|
Konsumsiperhari
|
|
Vitamin A
|
5 unit
|
10 unit
|
20 unit
|
|
Vitamin B
|
3 unit
|
1 unit
|
5 unit
|
|
Hargaper butir
|
Rp. 400
|
Rp. 800
|
|
Fungsi
tujuan : 
Fungsi
kendala : 
Penentuan titik potong fungsi kendala pada sumbu
dan
dan
 |
|
 |
||||
|
|
0
|
4
|
|
|
0
|
 |
|
|
2
|
0
|
|
|
5
|
0
|
|
Titik
|
(0, 2)
|
(4,0)
|
|
Titik
|
(0,5)
|
 |
Daerah penyelesaian di atasgaris
|
|
Daerah penyelesaian di atasgaris
|
||||
Untukmencarititikpotongkeduafungsikitagunakaneliminasi
|
|
|
 |
|
 |
|
 |
|
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
Sehingga diperoleh titik potong antara kedua fungsi kendala pada titik
, dan grafiknya adalah:
, dan grafiknya adalah:
Selanjutnya kita tentukan nilai minimumnya, dengan
cara
berikut:
a.
Uji
titik
pojok
|
FungsiTujuan :
|
|
|
TitikPojok
|
Nilai
|
|
A
 |
 |
|
B
 |
 |
|
C
 |
 |
Dari hasil uji titik pojok di atas, kita
dapatkan
bahwa
pengeluaran minimum untuk
membeli tablet perhari
adalahRp. 1.600,-dengan
membeli 4 butir tablet jenis
pertama. Walaupun
pada
titik
potong B juga
meraih
hasil minimum, akan
tetapi
jumlah
butirnya
tidak
utuh, sehingga
jika
kita
ingin
membeli tablet tersebut,
maka harus membeli 2 butir tablet pertama
dan 2 butir tablet kedua,
dengan harga total:
b.
Garis
selidik
Titik-titik untuk garis selidik:
|
Fungsi Tujuan :
|
|||
|
Nilai
 |
|
|
Titik Koordinat
|
|
2400
|
6
|
3
|
(6, 0) dan (0, 3)
|
|
1600
|
|
|
(4, 0) dan (0, 2)
|
 |
|
|
(2, 0) dan (0, 1)
|
Adapun grafiknya adalah sebagai berikut:
Dari garis selidik di atas, kita
dapatkan
dua
titi minimum, yaitu
titik (4, 0) dan
titik
. Akan tetapi, karena kita membutuhkan hasil yang utuh
(genap), maka tidak kita hanya akan menggunakan titik yang utuh, yaitu
titik (4, 0). Ini
berarti, dengan
membeli 4 butir tablet jenispertama,
maka pengeluaran akan minimum, sebesar:
. Akan tetapi, karena kita membutuhkan hasil yang utuh
(genap), maka tidak kita hanya akan menggunakan titik yang utuh, yaitu
titik (4, 0). Ini
berarti, dengan
membeli 4 butir tablet jenispertama,
maka pengeluaran akan minimum, sebesar:
3. Jawab:
Langkah Pertama (Identifikasi Variabel Keputusan)
Misalkan: produk I = X1
produk II =X2
Langkah Kedua (Identifikasi Fungsi Obyektif/Tujuan)
Max Z = 3000 X1 + 3000 X2
Langkah Ketiga (Identifikasi Kendala-Kendala) *Lihat tabel 1.
2X1 + X2≤ 30 ...........i)
2X1 + 3X2≤ 60
..........ii)
4X1 + 3X2≤ 72
.........iii)
X1≥ 0; X2≥ 0 (Syarat Non Negatif)
Langkah Keempat (Menggambarkan Bentuk Grafik)
a) Untuk persamaan 2X1 + X2 = 30 ….. (i)
2X1 + X2 = 30
X2 = 0, X1 = 15
X1 = 0, X2 = 30
didapat titik potong = (15 , 30)
b) Untuk persamaan 2X1 + 3X2 = 60 ....(ii)
2X1 + 3X2 = 60
X2 = 0, X1 = 30
X1 = 0, X2 = 20
didapat titik potong = (30 , 20)
c) Untuk persamaaan 4X1 + 3X2 = 72
....(iii)
4X1 + 3X2 =
72
X2 = 0, X1 = 18
X1 = 0, X2 = 24
didapat titik potong = (18 , 24)
*Lihat grafik 1.
Langkah Kelima (Identifikasi Daerah
Solusi yang Layak)
Titik-titik yang layak memenuhi semua keterbatasan
sumber daya tersebut berada di daerah bergaris pada Gambar grafik tersebut.
Daerah yang layak ini dikelilingi oleh titik-titik pojok (titik ekstrim) 0,
A, B, C, D.
Langkah Keenam (Menentukan Titik
Yang Memberikan Nilai Obyektif Optimal Pada Daerah Solusi Yang Layak)
Jadi daerah yang memenuhi ke-5
daerah tersebut terletak di dalam daerah yang dibatasi oleh titik-titik O(0,0),
A(15,0), D(0,20), titik B yaitu titik potong antara garis 2X1
+ X2 = 30 dan garis 4X1 + 3X2 = 72 , dan titik
C adalah titik potong antara garis 2X1 + 3X2 = 60
dan garis 4X1 + 3X2 = 72.
Titik B perpotongan antara
garis 2X1 + X2 = 30 dan garis 4X1 + 3X2
= 72, dengan mengeliminasi X1, dapat dihitung :
2X1 + X2 =
30 |*2
→ 4X1 + 2X2 = 60 ........i)
4X1 + X2 =
72 |*1
→ 4X1 + 3X2 = 72 ….....iii)
__________________ -
- X2 = - 12 X2 = 12
X1
= 9 maka titik B adalah (9,12)
Titik C perpotongan antara garis 2X1 + 3X2 =
60 dan garis 4X1 + 3X2 = 72, dengan mengeliminasi X2,
dapat dihitung :
2X1 + 3X2 = 60 ............i)
4X1 + 3X2 = 72 ............iii)
____________________ -
- 2X1 = - 12 X1 = 6
X2 =
16 maka titik C
adalah (6,16)
Jadi titik-titik sudutnya
adalah : O(0,0), A(15,0), B(9,12), C(6,16), dan D(0,20).
Penyelesaian dari soal diatas
adalah menghitung nilai fungsi sasaran (Z = 3000 X1 + 3000 X2)
di setiap titik sudut-titik sudut Daerah yang Memenuhi Kendala, sehingga:
Titik O (0,0) Z (0,0) = 3000.(0) + 3000.(0) = 0,
Titik A (15,0) Z (15,0) =
3000.(15) + 3000.(0) = 45.000
Titik B (9,12) Z (9,12) = 3000.(9) + 3000.(12) = 63.000
Titik C (6,16) Z(6,16) = 3000.(6) + 3000.(16) = 66.000
Titik D (0,20) Z(0,20) =
3000.(0) + 3000.(20) = 60.000
Langkah Ketujuh (Mengartikan
Solusi yang diperoleh)
Fungsi Tujuan adalah mencari
nilai maksimumnya sehingga nilai yang sesuai adalah :
Terletak pada titik C(6,16)
Dengan nilai fungsi tujuannya Rp.
66.000,00
Sehingga agar diperoleh laba yang
maksimum maka Pimpinan ”PT. Rakyat Bersatu” harus memproduksi :
Produk I sebanyak 6 unit dan
Produk IIsebanyak 16 unit
sehingga mendapat laba maksimum
sebesar Rp.66.000,00
4.
Jawab:
Langkah
Pertama (Menentukan Variabel)
X1
= Royal Bee
X2
= Royal Jelly
Langkah
Kedua (Menentukan Fungsi Tujuan)
Zmin = 100X1
+ 80X2
Syarat Ikatan (Menentukan Fungsi Kendala) :
2X1 + X2 ≥ 8 (vitamin)
2X1 + 3X2 ≥ 12 (protein)
X1
≥
2
* Lihat tabel 2
X2
≥ 1
Langkah
Keempat (Membuat grafik)
2X1
+ X2 = 8
X1
= 0, X2 = 8
X2
= 0, X1 = 4
2X1
+ 3X2 =
12
* Lihat grafik 2
X1
= 0, X2 = 4
X2
= 0, X1 = 6
X1
= 2
X2
= 1
Langkah Kelima (Identifikasi Daerah Solusi yang
Layak)
Titik-titik yang layak memenuhi semua keterbatasan
sumber daya tersebut berada di daerah bergaris pada Gambar grafik tersebut.
Daerah yang layak ini dikelilingi oleh titik-titik A, B, C.
Langkah Keenam (Menentukan Titik Yang Memberikan
Nilai Obyektif Optimal Pada Daerrah Solusi Layak)
Titik A yaitu titik
potong antara X2 = 1 dengan garis 2X1 + 3X2
= 12, untuk mencari nilai X1 dengan menggunakan metode Substitusi
sebagai berikut :
2X1
+ 3X2 = 12
2X1 + 3(1) = 12
2X1= 9
X1 = 4.5
TITIK A = (4.5 , 1)
Titik B yaitu titik
potong antara garis 2X1 + X2 = 8 dan garis 2X1 + 3X2 = 12, Adapun cara menghitung titik B dengan menggunakan metode Eliminasi
dan Substitusi sebagai berikut:
2X1 + X2
= 8........i)
2X1
+ 3X2 = 12 …..ii)
__________________ -
-2X2 = -4 X2 =
2
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + X2 = 8
2X1 + 2 = 8
2 X1 = 6 X1 = 3
TITIK B = (3 , 2)
Titik C yaitu titik
potong antara X1 = 2 dengan garis 2X1 + X2
= 8, untuk mencari nilai X1dengan menggunakan metode Substitusi
sebagai berikut :
2X1
+ X2 = 8
2(2) + X2 = 8
X2 =
4
TITIK C = (2 , 4)
Penyelesaian dari soal
diatas adalah menghitung nilai fungsi sasaran
(Z min = 100X1
+ 80X2) , sehingga:
Titik A (4.5 , 1) :
Z min = 100X1
+ 80X2
= 100 . 4,5 + 80 . 1
= 450 + 80 = 530
Titik B (3 ,
2):
Z min = 100X1
+ 80X2
= 100
. 3 + 80 . 2
= 300 + 160
= 460
Titik C (2 ,
4):
Z min = 100X1
+ 80X2
= 100 . 2 +
80 . 4
= 200 + 320
= 520
Langkah
Ketujuh (Mengartikan Solusi yang diperoleh)
Fungsi Tujuan adalah mencari nilai minimumnya sehingga nilai yang sesuai
adalah :
Terletak pada titik B (3 , 2)
Dengan nilai fungsi tujuannya Rp.
460.000
Sehingga untuk
meminimumkan biaya produksi maka
Perusahaan Makanan Royal memproduksi:
Royal Bee sebanyak 3 unit dan
Royal Jelly sebanyak 2 unit
Dengan biaya sebesar
Rp.460.000
GRAFIK 1
GRAFIK 2
5.
Penyelesaian :
1. Variabel Keputusan
X1 : Meja
X2 : Kursi
2. Fungsi Tujuan
Tujuan
perusahaan adalah maksimisasi keuntungan, sehingga kita dapat menuliskan fungsi
tujuan sebagai berikut :
Maksimalkan Z = 7X1
+ 5X2
3. Fungsi
Kendala
4 X1 + 3 X2 ≤ 240 (kendala departemen pembuatan)
2 X1 + 1 X2 ≤ 100 (kendala departemen pengecatan)
dimana X1 dan X2 ≥ 0 (kendala non negatif)
Kendala I : 4 X1 + 3 X2
= 240
memotong sumbu X1 pada saat X2
= 0
4 X1 + 0 = 240
X1 = 240/4
X1 = 60
memotong sumbu X2 pada saat X1
= 0
0 + 3 X2 = 240
X2 = 240/3
X2 = 80
Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (60, 0) dan
memotong sumbu X2 pada titik (0, 80).
Kendala II : 2 X1 + 1 X2 = 100
memotong sumbu X1 pada saat X2
= 0
2 X1 + 0 = 100
X1 = 100/2
X1 = 50
memotong sumbu X2 pada saat X1
=0
0 + X2 = 100
X2 = 100
Kendala II memotong sumbu X1 pada titik (50, 0) dan
memotong sumbu X2 pada titik (0, 100).
Grafik 1.1
Titik potong kedua kendala bisa dicari
dengan cara substitusi atau eliminasi
2 X1 + 1 X2 = 100
X2 = 100 - 2 X1
4 X1 + 3 X2 = 240
4 X1 + 3 (100 - 2 X1)
= 240
4 X1 + 300 - 6 X1
= 240
- 2 X1 = 240 - 300
- 2 X1 = - 60
X1 = -60/-2 = 30
X2 = 100 - 2 X1
X2 = 100 - 2 * 30
X2 = 100 - 60
X2 = 40
Sehingga kedua kendala akan saling
berpotongan pada titik (30, 40).
Tanda ≤ pada kedua kendala ditunjukkan
pada area sebelah kiri dari garis kendala. Sebagaimana nampak pada Grafik 1.1, feasible
region (area layak) meliputi daerah sebelah kiri dari titik A (0,80), B
(30,40) dan C (50,0).
Penyelesaian dengan menggunakan titik
sudut (corner point) artinya kita harus mencari nilai tertinggi dari
titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari peraga 1, dapat
dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik 0 (0, 0), A
(0, 80), B (30, 40), dan C (50, 0).
Keuntungan pada titik O (0, 0) adalah (7
x 0) + (5 x 0) = 0
Keuntungan pada titik A (0, 80) adalah
(7 x 0) + (5 x 80) = 400
Keuntungan pada titik B (30, 40) adalah
(7 x 30) + (5 x 40) = 410 *
Keuntungan pada titik C (50, 0) adalah
(7 x 50) + (5 x 0) = 350
Karena keuntungan tertinggi jatuh pada
titik B, maka sebaiknya perusahaan memproduksi meja sebanyak 30 unit dan kursi
sebanyak 40 unit, dan perusahaan memperoleh keuntungan optimal sebesar
410.
6.
Pembahasan Tanpa membuat tabel, kita dapat
memodelkan kendala-kendala dari permasalahan tersebut sebagai berikut.
x + y ≤ 25,
1.500.000x + 2.000.000y ≤ 42.000.000,
x ≥ 0, y ≥ 0,
x dan y bilangan cacah.
1.500.000x + 2.000.000y ≤ 42.000.000,
x ≥ 0, y ≥ 0,
x dan y bilangan cacah.
Dengan fungsi objektifnya adalah f(x, y) = 500.000x
+ 600.000y. Sehingga apabila digambarkan, daerah selesaiannya akan
nampak seperti berikut.
Selanjutnya kita tentukan titik potong grafik persamaan 1.500.000x +
2.000.000y = 42.000.000 dan x + y = 25.
Sehingga,
Diperoleh,
Selanjutnya kita lakukan uji titik pojok ke dalam fungsi objektifnya.
Jadi, keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah Rp 13.400.000,00.
7. PENYELESAIAN
Untuk
menyelesaikan soal cerita tersebut di atas
dapat dibuat model matematika yang berbentuk program linier dengan cara memisalkan padi = x dan jagung =
y sehingga diperoleh model matematika PL sebagai berikut :
1/5x + 2/5y 
16
16
3000x + 2000y 120.000
120.000
12x + 0y 360
360
x
0, y 0
0, y 0
Z = 2000x + 1000y ( carilah keuntungan maksimum)
Setelah model matematika masalah PL diperoleh, akan
diselesaikan dengan cara grafik. Yaitu dengan cara mencari himpunan
fisibel dengan cara mencari titik potong
sumbu X dan sumbu Y dari masing-masing fungsi syarat adapun hasilnya adalah sebagai berikut:
* x + 2y = 80
3x + 2y = 120 –
-2x =
-40
x =
20
y
= 30
* x + 2y = 80
x = 0, y = 40
y = 0, x = 80
* 3x + 2y = 120
x = 0, y = 60
y = 0, x = 40
Fs daerah himpunan
yang memenuhi semua fungsi syarat
* x + 0y = 30
x =0, y = 0
y = 0, x = 30
Untuk mementukan nilai maksimum, maka diuji semua titik
potong pada daerah himpunan fisibel. Adapun titik-titik yang perlu di uji
adalah :
titik (0,0), diperoleh nilai fungsi sasaran Z = 2000x +
100y = 2000. 0 +100.0 = 0
(30,0),diperoleh nilai fungsi sasaran Z = 60.000
(20,30),diperoleh nilai fungsi sasaran Z = 70.000
(0,40),diperoleh nilai fungsi sasaran Z = 40.000
(30,15),diperoleh nilai fungsi sasaran Z = 75.000
Karena kasusnya adalah
maksimum maka dicari nilai fungsi
sasaran yang terbesar yaitu 75.000 di titik (30,15). Jadi keuntungan maksimum
adalah 75.000
8. PENYELESAIAN
Untuk
menyelesaikan soal cerita tersebut di atas
dapat dibuat model matematika yang berbentuk program linier dengan cara memisalkan mesin A= A dan mesin B
= B, barang 1 = x, Barang 2 = y, sehingga diperoleh tabel sebagai
berikut :
Waktu (1 hari = 24
jam)
|
|
A
|
B
|
Penjualan
|
|
X
|
3 jam
|
4 jam
|
2000
|
|
Y
|
6 jam
|
3 jam
|
3000
|
Dari tabel tersebut dapat dibuat model matematika PL
sebagai berikut :
3x + 6y 24
24
4x + 3y 24
24
x 
0, y 0
0, y 0
Setelah model PL diperoleh akan diselesaikan dengan cara
grafik. Yaitu dengan cara mencari himpunan fisibel dengan cara mencari titik potong sumbu X dan sumbu Y dari
masing-masing fungsi syarat. adapun
hasilnya adalah sebagai berikut:
* 3x + 6y = 24 X 1 3x
+ 6y = 24
4x + 3y =
24 X 2 8x + 6y = 48 -
|
x = 4,8
y
= 1,6
 |
||||||||
|
||||||||
dengan fungsi sasaran f = 200 x + 3000 y Fs
di titik (4,8 ; 1,6), nilai f = 14.400
(0,0),
nilai f = 0
(6,0),
nilai f = 12.000
(0,4), nilai f = 12.000
Fs daerah himpunan yang memenuhi semua fungsi syarat
Karena kasusnya memaksimumkan, sehingga penghasilan maksimum dicapai pada Barang 1 = 4,8 dan Barang 2 = 1,6 dengan
nilai keuntungan $14.400
9. PENYELESAIAN
Untuk
menyelesaikan soal cerita tersebut di atas
dapat dibuat model matematika yang berbentuk program linier dengan cara memisalkan Radio A= xdan Radio B
= y, , sehingga diperoleh tabel sebagai
berikut :
|
Jenis
|
Proses
I
|
Proses
II
|
Proses
III
|
|
X
|
1
|
0,8
|
0,5
|
|
Y
|
1,2
|
2
|
0
|
|
|
1200
|
1600
|
500
|
Dari tabel tersebut dapat dibuat model matematika PL
sebagai berikut :
- maksimumkan Z = 10.000x + 20.000y
- dengan syarat x
+ 1,2y 1200
1200
0,8 x + 2 y 1600
1600
0,5 x + 0 y 500
500
x 200, y 160
200, y 160
Setelah model PL diperoleh akan diselesaikan dengan cara
grafik. Yaitu dengan cara mencari himpunan fisibel dengan cara mencari titik potong sumbu x dan
sumbu y dari masing-masing fungsi syarat.
adapun hasilnya adalah sebagai berikut:
* x + 1,2 y = 1200
|
x
|
0
|
1200
|
|
y
|
1000
|
0
|
* 0,8 x + 2 y = 1600
|
x
|
0
|
2000
|
|
y
|
800
|
0
|
* 0,5 x + 0 y 500
500
x = 0, y = 0
y = 0, x = 1000
* 0,8 x + 2 y = 1600
0,5 x =
500
x = 1000
y = 400
Garis selidik :
x + 1,2 y =
1200 x 5 5 x + 6 y
= 6000
0,8 x + 2 y = 1600 x 3 2,4x
+ 6y = 4800 -
2,6 x = 1200
x = 461,54 dan y = 615
 |
* 0,8x + 2y =1600
x = 200
y = 720
Fs derah himpunan yang memenuhi semua fungsi syarat
Dengan fungsi sasaran Z = 10.000x + 20.000y, untuk
menentukan keuntungan maksimum ,kita uji harga semua titik potong pada daerah
himpunan fisibel.Adapun titik-titik yang perlu diuji adalah :
Pada titik (200, 720), nilai Z = 16.400.000
(461,54 ;615), nilai Z = 16.910.000
Jadi keuntungan maksimum = $16.910.000 di titk
(461,54 ;615) atau dengan kata lain jumlah radio yang diproduksi
jenis radio A sebanyak 461,54 buah dan
jenis radio B sebanyak 615 buah.
10. PENYELESAIAN
Variabel
keputusan
Variabel
masalah ini adalah penjualan masing-masing mainan yaitu:
X1
= boneka
X2
= mobil-mobilan
Fungsi
Tujuan
Tujuan
masalah ini adalah memaksimumkan keuntungan. Biaya total dalam konteks ini
adalah harga per unit dari masing-masing jenis mainan yang dijual sehingga
biaya total Z, dituliskan sebagai berikut: Z = 4X1 + 5X2
Sistem
kendala
Dalam masalah ini kendala adalah
kebutuhan maksimum akan sumber daya dalam pembuatannya.
Kendala untuk bahan mentah : X1 +
2X2 ≤ 10
dan
buruh : 6X1 + 6X2 ≤ 36
Jadi model matematika :
Memaksimumkan Z = 4X1 + 5X2
Dengan
syarat :
X1
+ 2X2 ≤ 10
6X1 + 6X2 ≤ 36
X1 ≤ 4
X1
≥ 0, X2 ≥ 0
Penyelesaian
Grafik model LP:
Karena
solusi optimum terlatak pada suatu titik pojok yang merupakan perpotongan dari
dua kendala atau pada titik B maka x1 dan x2 dapat dicari melalui penyelesaian
dua persamaan kendala ini dengan metode subtitusi atau elminasi.
X1
+ 2X2 ≤ 10
6X1
+ 6X2 ≤ 36
Sehingga
x1 = 2 dan x2 = 4 bila dimasukkan ke fungsi tujuan diperoleh Z = 28.
Jadi, jumlah masing-masing produk
yang harus dihasilkan adalah x1 = 2 dan x2 = 4 dengan keuntungan maksimum nya adalah 24
Langganan:
Posting Komentar (Atom)
0 komentar:
Posting Komentar